Чтобы доказать, что четырёхугольник МНЕК является параллелограммом, нам необходимо проверить два условия:
Противоположные стороны параллельны.
Противоположные стороны равны по длине.
Для этого мы можем использовать координаты вершин и формулы расстояния между двумя точками и уравнения прямой.
Проверим первое условие. Для этого рассмотрим векторы, образованные сторонами МН и ЕК, а также сторонами НЕ и МК. Если эти векторы параллельны, то противоположные стороны параллельны.
Вектор МН:
МН = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-6 - 3, 1 - (-4)) = (-9, 5)
Вектор ЕК:
ЕК = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (4 - (-5), -3 - 2) = (9, -5)
Вектор НЕ:
НЕ = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-5 - (-6), 2 - 1) = (1, 1)
Вектор МК:
МК = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (3 - 4, -4 - (-3)) = (-1, -1)
Мы видим, что векторы МН и ЕК, а также НЕ и МК имеют одинаковые значения по модулю и имеют разные знаки. Это означает, что стороны МН и ЕК параллельны, а также стороны НЕ и МК параллельны.
Проверим второе условие. Для этого вычислим длины сторон МН, НЕ, ЕК и МК и сравним их.
Длина стороны МН:
d(M, N) = √[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2] = √[(-6 - 3)^2 + (1 - (-4))^2] = √[81 + 25] = √106
Длина стороны НЕ:
d(N, E) = √[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2] = √[(-5 - (-6))^2 + (2 - 1)^2] = √[1 + 1] = √2
Длина стороны ЕК:
d(E, K) = √[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2] = √[(4 - (-5))^2 + (-3 - 2)^2] = √[81 + 25] = √106
Длина стороны МК:
d(M, K) = √[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2] = √[(3 - 4)^2 + (-4 - (-3))^2] = √[1 + 1] = √2
Мы видим, что длины сторон МН и ЕК равны (√106 = √106), а также длины сторон НЕ и МК равны (√2 = √2).
Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны параллельны и равны по длине. Следовательно, четырёхугольник МНЕК является параллелограммом.