Для этой оптической системы мы можем использовать формулу для фокусного расстояния вогнутого зеркала, прослойка из жидкости не влияет на радиус кривизны зеркала:
1/f = (n - 1) * (1/R1 + 1/R2)
где f - фокусное расстояние, n - показатель преломления жидкости, R1 и R2 - радиусы кривизны зеркала.
Поскольку зеркало имеет форму полусферы, радиусы кривизны R1 и R2 равны по модулю, а знаки обратны. Мы можем выбрать направление оси z вдоль осевой линии зеркала, проходящей через его центр, таким образом, чтобы R1 был отрицательным, а R2 положительным:
R1 = -R
R2 = R
Подставляем известные значения и решаем уравнение относительно n:
1/f = (n - 1) * (1/R1 + 1/R2)
1/f = (n - 1) * (-1/R + 1/R)
1/f = 0
Таким образом, фокусное расстояние f этой системы должно быть бесконечным. Но мы знаем, что система дает два действительных изображения, что возможно только в случае, когда лучи расходятся до отражения от зеркала. Это означает, что оптическая система является гиперболической.
Для такой системы фокусное расстояние f можно найти по формуле:
1/f = (n - 1) * (1/R1 - 1/R2)
где R1 и R2 - радиусы кривизны зеркала, определяющие его гиперболическую форму.
Для зеркала с полусферической формой радиус кривизны R равен 55 см. Радиусы кривизны для гиперболической поверхности можно найти из следующих выражений:
R1 = -sqrt(R^2 + s^2)
R2 = sqrt(R^2 + (s - 2f)^2)
где s - расстояние между источником и зеркалом, f - фокусное расстояние системы.
Подставляем известные значения:
R = 55 см
s = 30 см
f = 2f' = 4R = 220 см
Тогда получаем:
R1 = -sqrt((0.55 м)^2 + (0.3 м)^2) ≈ -0.634 м
R2 = sqrt((0.55 м)^2 + (0.1 м)^2) ≈ 0.553 м
Теперь можем найти показатель преломления жидкости n:
1/f = (n - 1) * (1/R1 - 1/R2)
1/2f' = (n - 1) * (1/R1 - 1/R2)
(n - 1) = (R2 - R1) / (f' * R1 * R2)
n = 1 + (R2 - R1) / (f' * R1 * R2)
Подставляем известные значения:
n = 1 + (0.553 м - (-0.634 м)) / (2 * 0.634 м * 0.553 м)
n ≈ 1.602
Таким образом, показатель преломления жидкости составляет примерно 1.602.