Question

На дифракционную решётку, содержащую 250 штрихов на 1 мм длины, падает пучок белого света. Параллельно решётке расположена собирающая линза оптической силой 5 дптр. а) На каком расстоянии от линзы надо поместить экран, чтобы получить на нём чёткое изображение интерференционных максимумов? б) На каком расстоянии от центрального интерференционного максимума будет яркая жёлтая полоса? Длину волны, соответствующей зелёному цвету, примите равной 580 нм. в) Чему равна ширина всего спектра первого порядка? Примите, что длина волны, соответствующей фиолетовому цвету, равна 380 нм, а длина волны, соответствующей красному цвету, равна 760 нм.

Answer 1

Дано:
- количество штрихов на дифракционной решётке: 250 штрихов/мм
- оптическая сила линзы: 5 дптр
- длина волны зелёного цвета: 580 нм
- длина волны фиолетового цвета: 380 нм
- длина волны красного цвета: 760 нм

а) Найдем угловой размер интерференционной картины:
Dλ = d sinθ
где Dλ - расстояние между соседними максимумами, d - расстояние между штрихами решетки, θ - угол дифракции.

Поскольку угол дифракции мал, можно считать sinθ ≈ tanθ ≈ θ.
Также, по формуле оптической силы линзы f = 1/|F|, где f - фокусное расстояние линзы, F - положительное фокусное расстояние линзы.

Используем формулу для угла дифракции:
λ = Dλ
250 * 10^3 * 580 * 10^(-9) = 5 * θ
θ = 0.043 rad

Теперь найдем расстояние от линзы до экрана:
f = (f * L) / (L - f)
где L - расстояние до экрана.

Подставляем значения:
5 = (5 * L) / (L - 5)
L - 5 = L/5
L = 25 см

Ответ: на расстоянии 25 см от линзы надо поместить экран, чтобы получить чёткое изображение интерференционных максимумов.

б) Для яркой жёлтой полосы нужно найти расстояние от центрального интерференционного максимума до максимума желтого света.
Используя тот факт, что желтый свет имеет длину волны 580 нм, найдем угол дифракции для желтого света:
250 * 10^3 * 580 * 10^(-9) = 5 * θ_y
θ_y = 0.046 rad

Таким образом, для жёлтой полосы расстояние от центрального интерференционного максимума будет:
L_y = f * tan(θ_y)
L_y = 5 * tan(0.046)
L_y ≈ 0.23 см

Ответ: на расстоянии примерно 0.23 см от центрального максимума будет яркая желтая полоса.

в) Ширина всего спектра первого порядка равна разности расстояний от центрального максимума до максимумов фиолетового и красного цветов.
Для фиолетового света длиной волны 380 нм:
θ_v = λ_v / d = 250 * 10^3 * 380 * 10^(-9) / 5 ≈ 0.076 rad

Для красного света длиной волны 760 нм:
θ_r = λ_r / d = 250 * 10^3 * 760 * 10^(-9) / 5 ≈ 0.15 rad

Тогда ширина всего спектра первого порядка:
ΔL = f * (tan(θ_r) - tan(θ_v))
ΔL = 5 * (tan(0.15) - tan(0.076)) ≈ 0.45 см

Ответ: ширина всего спектра первого порядка равна примерно 0.45 см.