Дано:
Функция зависимости выпуска продукции от количества используемого труда: Q = 10L + 16L^2 – L^3.
Найти:
Объем выпуска, при котором средняя производительность труда будет максимальной.
Решение с расчетом:
Средняя производительность труда (AP) представляет собой отношение объема выпуска к количеству используемого труда:
AP = Q / L.
Чтобы найти максимум средней производительности труда, необходимо найти точку, в которой первая производная функции по количеству используемого труда равна нулю.
Для начала найдем среднюю производительность труда:
AP = (10L + 16L^2 – L^3) / L,
AP = 10 + 16L – L^2.
Теперь найдем производную средней производительности труда по количеству используемого труда (L):
d(AP)/dL = 16 - 2L.
Чтобы найти максимум средней производительности труда, приравняем производную к нулю и найдем L:
16 - 2L = 0,
2L = 16,
L = 8.
Теперь проверим, является ли это точка максимумом. Для этого возьмем вторую производную и оценим ее значение в точке L = 8:
d^2(AP)/dL^2 = -2.
Так как значение второй производной отрицательное, то это действительно точка максимума.
Ответ:
Средняя производительность труда будет максимальной при объеме выпуска, равном 10 + 16*8 - 8^2 = 80 единиц.