Дано:
В окружность вписан равносторонний треугольник АВС. На этой окружности случайным образом выбирают две точки — D и E.
Найти:
Вероятность того, что отрезок DE:
а) не пересекает ни одну из сторон треугольника;
б) пересекает ровно две стороны треугольника.
Решение:
а) Чтобы отрезок DE не пересекал ни одну из сторон треугольника, он должен находиться вне треугольника. В этом случае отрезок DE будет пересекать окружность в двух точках, которые находятся за пределами треугольника. Вероятность того, что две случайно выбранные точки на окружности будут находиться вне треугольника, равна отношению длины дуги, соответствующей углу между точками А и В, к длине окружности, то есть 1/3.
б) Чтобы отрезок DE пересекал ровно две стороны треугольника, его концы должны лежать на разных сторонах треугольника. Это происходит в том случае, когда одна из точек (D или E) лежит внутри треугольника, а другая - снаружи. Вероятность этого случая можно рассчитать как вероятность выбрать точку внутри треугольника, умноженную на вероятность выбрать точку снаружи треугольника, что равно (1/3)*(2/3) = 2/9.
Ответ:
а) Вероятность того, что отрезок DE не пересекает ни одну из сторон треугольника равна 1/3.
б) Вероятность того, что отрезок DE пересекает ровно две стороны треугольника равна 2/9.