Дано:
- Окружность, в которую вписан равносторонний треугольник ABC.
- Выбираются случайные точки D и E на окружности.
Найти:
а) Вероятность того, что отрезок DE не имеет общих точек с треугольником.
б) Вероятность того, что отрезок DE имеет ровно одну общую точку с треугольником.
Решение:
Пусть угол A, угол B и угол C равностороннего треугольника ABC равны 60 градусам.
1. Определим общее количество способов выбрать две точки D и E на окружности. Это можно сделать, выбрав любую пару точек, что соответствует числу всех возможных комбинаций двух точек на окружности.
2. Длина дуги окружности, ограниченная двумя выбранными точками D и E, будет зависеть от углов, которые они образуют.
3. Рассмотрим три сектора (дуги) между вершинами треугольника ABC. Каждый сектор соответствует углу 60 градусов.
а) Для того чтобы отрезок DE не имел общих точек с треугольником, обе точки D и E должны находиться в одной из двух оставшихся дуг, которые не содержат треугольник. То есть каждая из точек может быть выбрана в любом из двух секторов, не включающих треугольник.
Общее количество способов выбрать 2 точки на окружности:
С=360°.
Количество благоприятных случаев для выбора двух точек, чтобы они находились на одной из двух дуг:
С2 = 240° (два полных сектора по 120°).
Вероятность P1 будет равна:
P1 = С2 / С = 240 / 360 = 2/3.
б) Для того чтобы отрезок DE имел ровно одну общую точку с треугольником, одна точка должна находиться в одном из секторов, содержащих вершины треугольника, а другая точка - в одной из двух оставшихся дуг.
Общая длина дуги, содержащая одну из вершин треугольника:
S1 = 120° (для одной вершины).
Количество благоприятных случаев:
С1 = 120° * 2 (по двум другим точкам, предполагая, что каждая из них может находиться в одном из двух оставшихся секторов).
Вероятность P2 будет равна:
P2 = (2 * S1) / С = (2 * 120°) / 360° = 240 / 360 = 2/3.
Ответ:
а) Вероятность того, что отрезок DE не имеет общих точек с треугольником, равна 2/3.
б) Вероятность того, что отрезок DE имеет ровно одну общую точку с треугольником, равна 1/3.