Дано: Игральную кость бросают 6 раз.
Найти:
а) Вероятность того, что шестёрка выпадет 3 раза;
б) Вероятность того, что шестёрка выпадет 5 раз;
в) Вероятность того, что шестёрка выпадет 1 раз;
г) Вероятность того, что шестёрка выпадет 6 раз;
д) Вероятность того, что шестёрка выпадет 2 раза;
е) Вероятность того, что шестёрка не выпадет ни разу.
Решение с расчетом:
Используем формулу для вычисления вероятности появления k успехов в серии из n испытаний Бернулли (в данном случае - бросков игральной кости), где p - вероятность успеха (выпадения шестёрки), q - вероятность неудачи (выпадения любой другой цифры):
P(k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
где n - количество бросков, k - количество успехов (выпадений шестёрки), p = 1/6 - вероятность выпадения шестёрки, q = 1 - p = 5/6 - вероятность не выпадения шестёрки.
а) Вероятность того, что шестёрка выпадет 3 раза:
P(3) = C(6, 3) * (1/6)^3 * (5/6)^(6-3)
P(3) = 20 * (1/216) * (125/216)
P(3) = 250 / 7776
P(3) ≈ 0.0322
б) Вероятность того, что шестёрка выпадет 5 раз:
P(5) = C(6, 5) * (1/6)^5 * (5/6)^(6-5)
P(5) = 6 * (1/7776) * (5/6)
P(5) = 30 / 46656
P(5) ≈ 0.0006
в) Вероятность того, что шестёрка выпадет 1 раз:
P(1) = C(6, 1) * (1/6) * (5/6)^(6-1)
P(1) = 6 * (1/6) * (5/6)^5
P(1) = 3125 / 46656
P(1) ≈ 0.0670
г) Вероятность того, что шестёрка выпадет 6 раз:
P(6) = C(6, 6) * (1/6)^6 * (5/6)^(6-6)
P(6) = 1 * (1/46656) * 1
P(6) = 1 / 46656
P(6) ≈ 0.0000214
д) Вероятность того, что шестёрка выпадет 2 раза:
P(2) = C(6, 2) * (1/6)^2 * (5/6)^(6-2)
P(2) = 15 * (1/36) * (25/36)
P(2) = 375 / 46656
P(2) ≈ 0.0080
е) Вероятность того, что шестёрка не выпадет ни разу (ни разу):
P(0) = C(6, 0) * (1/6)^0 * (5/6)^(6-0)
P(0) = 1 * 1 * (15625/46656)
P(0) = 15625 / 46656
P(0) ≈ 0.3350
Ответ:
а) P(3) ≈ 0.0322
б) P(5) ≈ 0.0006
в) P(1) ≈ 0.0670
г) P(6) ≈ 0.0000214