Question

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только 2-й экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.

Answer 1

Дано:  
Вероятность сдачи первого экзамена, P1 = 0.9  
Вероятность сдачи второго экзамена, P2 = 0.9  
Вероятность сдачи третьего экзамена, P3 = 0.8  

Найти:  
а) только 2-й экзамен;  
б) только один экзамен;  
в) три экзамена;  
г) по крайней мере два экзамена;  
д) хотя бы один экзамен.

Решение с расчетом:  
а) Вероятность сдать только второй экзамен будет равна произведению вероятностей сдать его и не сдать остальные:

P(только 2-й) = P2 * (1 - P1) * (1 - P3) = 0.9 * 0.1 * 0.2 = 0.018.

б) Вероятность сдать только один экзамен будет равна сумме вероятностей сдать каждый из экзаменов и не сдать остальные:

P(только 1 экзамен) = P1 * (1 - P2) * (1 - P3) + (1 - P1) * P2 * (1 - P3) + (1 - P1) * (1 - P2) * P3  
= 0.9 * 0.1 * 0.2 + 0.1 * 0.9 * 0.2 + 0.1 * 0.1 * 0.8 = 0.162.

в) Вероятность сдать все три экзамена:

P(три экзамена) = P1 * P2 * P3 = 0.9 * 0.9 * 0.8 = 0.648.

г) Вероятность сдать по крайней мере два экзамена будет равна сумме вероятности сдать два экзамена и вероятности сдать три экзамена:

P(по крайней мере два) = P(только 2-й) + P(только 1 экзамен) + P(три экзамена) = 0.018 + 0.162 + 0.648 = 0.828.

д) Вероятность сдать хотя бы один экзамен будет равна единице минус вероятность того, что ни один экзамен не будет сдан:

P(хотя бы один) = 1 - (1 - P1) * (1 - P2) * (1 - P3) = 1 - 0.1 * 0.1 * 0.2 = 0.996.

Ответ:  
а) Вероятность сдать только 2-й экзамен составляет 0.018.  
б) Вероятность сдать только один экзамен составляет 0.162.  
в) Вероятность сдать все три экзамена составляет 0.648.  
г) Вероятность сдать по крайней мере два экзамена составляет 0.828.  
д) Вероятность сдать хотя бы один экзамен составляет 0.996.