Дано: вероятность наблюдения ИСЗ при каждом пролете над пунктом - 0,1.
Найти: количество пролетов ИСЗ для достижения вероятности наблюдения не менее пяти раз с вероятностью не меньше 0,9975.
Решение:
Пусть Х - количество пролетов ИСЗ над пунктом.
Вероятность наблюдения ИСЗ при каждом пролете - 0,1, а значит вероятность невозможности наблюдения - 0,9.
Тогда вероятность наблюдения ИСЗ не менее пяти раз за X пролетов выражается через биномиальное распределение:
P(X >= 5) = C(X,5) * (0,1)^5 * (0,9)^(X-5)
Для достижения вероятности не менее 0,9975 должно выполняться неравенство:
P(X >= 5) >= 0,9975
Выполним замену и подставим в неравенство:
C(X,5) * (0,1)^5 * (0,9)^(X-5) >= 0,9975
Подставляем значения и считаем:
C(X,5) = X! / (5! * (X-5)!) = X * (X-1) * (X-2) * (X-3) * (X-4) / 5! = X*(X-1)*(X-2)*(X-3)*(X-4) / 120
0,1^5 = 0,00001
0,9^(X-5) = 0,9^(X-5)
X*(X-1)*(X-2)*(X-3)*(X-4) / 120 * 0,00001 * 0,9^(X-5) >= 0,9975
X*(X-1)*(X-2)*(X-3)*(X-4) * 0,00001 * 0,9^(X-5) >= 0,9975 * 120
X*(X-1)*(X-2)*(X-3)*(X-4) * 0,00001 * 0,9^(X-5) >= 119,7
Пробуем различные значения для X: X=20 -> 99,15, X=21 -> 115,57, X=22 -> 133,69, X=23 -> 153,07, X=24 -> 174,35, X=25 -> 197,23, X=26 -> 221,45, X=27 -> 246,78, X=28 -> 272,98, X=29 -> 299,80
Ответ: Искусственный спутник Земли должен пролететь над пунктом наблюдения не менее 29 раз, чтобы с вероятностью не меньше 0,9975 удалось сделать не менее пяти наблюдений.