Дано:
- Студент обходит 3 библиотеки
- Для каждой библиотеки одинаково вероятно, есть ли книга в фондах или нет
- Если книга есть в фондах, вероятность того, что она не занята другим читателем, равна 0.5
- Библиотеки комплектуются независимо
Найти:
Вероятность того, что студент найдет книгу
Решение с расчетом:
Пусть A, B и C - события, что студент найдет книгу в первой, второй и третьей библиотеках соответственно.
Требуется найти вероятность события A ∪ B ∪ C, то есть P(A ∪ B ∪ C).
Используем формулу включения-исключения для трех событий:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Где P(A) - вероятность того, что студент найдет книгу в первой библиотеке, и так далее для P(B) и P(C). P(A ∩ B), P(A ∩ C), P(B ∩ C) - вероятности находить книгу в двух библиотеках одновременно. P(A ∩ B ∩ C) - вероятность находить книгу во всех трех библиотеках одновременно.
Теперь выразим каждую из этих вероятностей:
P(A) = 0.5 * 0.5 = 0.25 (вероятность, что книга есть в первой библиотеке и не занята)
P(B) = 0.5 * 0.5 = 0.25 (вероятность, что книга есть во второй библиотеке и не занята)
P(C) = 0.5 * 0.5 = 0.25 (вероятность, что книга есть в третьей библиотеке и не занята)
P(A ∩ B) = 0.25 * 0.25 = 0.0625 (вероятность, что книга есть в первой и во второй библиотеке и не занята)
P(A ∩ C) = 0.25 * 0.25 = 0.0625 (вероятность, что книга есть в первой и в третьей библиотеке и не занята)
P(B ∩ C) = 0.25 * 0.25 = 0.0625 (вероятность, что книга есть во второй и в третьей библиотеке и не занята)
P(A ∩ B ∩ C) = 0.25 * 0.25 * 0.25 = 0.015625 (вероятность, что книга есть во всех трех библиотеках и не занята)
Теперь можем найти P(A ∪ B ∪ C):
P(A ∪ B ∪ C) = 0.25 + 0.25 + 0.25 - 0.0625 - 0.0625 - 0.0625 + 0.015625
= 0.5625 - 0.1875 + 0.015625
= 0.390625
Ответ:
Итак, вероятность того, что студент найдет книгу, составляет 0.390625.