Дано:
Две точки произвольным образом бросаются в круг.
Найти:
Вероятность того, что они расположатся на одинаковом расстоянии от центра.
Решение с расчетом:
Пусть A и B - две произвольные точки, которые были брошены в круг.
1. Рассмотрим сначала случай, когда обе точки попадают на одну и ту же окружность с центром в центре круга.
Вероятность этого равна доле окружности относительно всей площади круга, то есть 0, так как это событие имеет нулевую вероятность.
2. Теперь рассмотрим случай, когда обе точки попадают на разные окружности с одинаковым радиусом.
Для этого найдем вероятность, что первая точка попадет на окружность с радиусом r. Это вероятность будет пропорциональна площади окружности с радиусом r, то есть πr^2 / S, где S - площадь круга.
Затем для второй точки вероятность также будет πr^2 / S.
Таким образом, вероятность того, что обе точки попадут на окружности с одинаковым радиусом равна (πr^2 / S) * (πr^2 / S) = π^2 * r^4 / S^2.
3. Наконец, интегрируем по всем возможным значениям радиуса от 0 до R, где R - радиус круга.
Получаем вероятность P = ∫(from 0 to R) π^2 * r^4 / S^2 dr
Решив этот интеграл, мы получим значение вероятности.
Ответ:
Мы можем вычислить вероятность того, что две точки, брошенные произвольным образом в круг, будут находиться на одинаковом расстоянии от центра, используя указанный метод интегрирования площадей окружностей с различными радиусами.