Дано:
- Отрезок единичной длины, на который брошены две точки
Найти:
Вероятность, что из этих частей можно составить треугольник
Решение с расчетом:
Пусть X и Y - координаты брошенных точек. Без ограничения общности предположим, что 0 ≤ X ≤ Y ≤ 1.
Чтобы из трех отрезков с длинами X, Y-X и 1-Y можно было составить треугольник, необходимо и достаточно выполнение неравенства треугольника для любых двух отрезков из трех.
Известно, что для треугольника выполняется неравенство a + b > c, где a, b, c - длины сторон треугольника. Применим это к нашему случаю:
1. Для отрезка длиной X и Y-X: X + (Y-X) > 1-Y
2. Для отрезка длиной X и 1-Y: X + (1-Y) > Y-X
3. Для отрезка длиной Y-X и 1-Y: Y-X + (1-Y) > X
Теперь найдем вероятность P того, что из этих частей можно составить треугольник.
Каждое из неравенств выше является условием для образования треугольника. Посчитаем вероятность каждого неравенства и сложим их:
P = P(X + (Y-X) > 1-Y) + P(X + (1-Y) > Y-X) + P(Y-X + (1-Y) > X)
Рассмотрим каждое неравенство по отдельности:
1. P(X + (Y-X) > 1-Y) равна отношению длины области, при которой неравенство выполнено, к общей длине пространства выбора, то есть:
P(X + (Y-X) > 1-Y) = (1 - Y) / 1 = 1 - Y
2. Аналогично для P(X + (1-Y) > Y-X):
P(X + (1-Y) > Y-X) = Y / 1 = Y
3. И для P(Y-X + (1-Y) > X):
P(Y-X + (1-Y) > X) = (1 - X) / 1 = 1 - X
Теперь можно найти вероятность P:
P = (1 - Y) + Y + (1 - X)
P = 2 - X - Y
Ответ:
Вероятность, что из этих частей можно составить треугольник: 2 - X - Y