Дано:
- Отрезок длины l, на который брошены три точки X, Y, Z, расстояния до этих точек от левого конца отрезка
Найти:
Вероятность, что из отрезков с длинами X, Y и Z можно составить треугольник
Решение с расчетом:
Чтобы из отрезков с длинами X, Y и Z можно было составить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы каждая из длин была меньше, чем сумма двух других длин. Это называется неравенством треугольника.
Рассмотрим расположение точек X, Y, Z на отрезке. Без ограничения общности предположим, что 0 ≤ X ≤ Y ≤ Z ≤ l (другие случаи будут аналогичны).
Теперь найдем вероятность P того, что из отрезков с длинами X, Y и Z можно составить треугольник.
P = 1 - P(X ≥ Y + Z) - P(Y ≥ X + Z) - P(Z ≥ X + Y)
Так как X, Y, Z равномерно распределены на отрезке длиной l, то вероятность P(X ≥ Y + Z) равна отношению недостаточной длины к общей длине отрезка:
P(X ≥ Y + Z) = (l - (Y + Z)) / l
Аналогично для P(Y ≥ X + Z) и P(Z ≥ X + Y):
P(Y ≥ X + Z) = (l - (X + Z)) / l
P(Z ≥ X + Y) = (l - (X + Y)) / l
Теперь можно найти вероятность P:
P = 1 - (l - (Y + Z)) / l - (l - (X + Z)) / l - (l - (X + Y)) / l
P = 1 - (3l - 2*(X+Y+Z)) / l
P = 2*(X+Y+Z) / l - 2
Ответ:
Вероятность, что из отрезков с длинами X, Y и Z можно составить треугольник: 2*(X+Y+Z) / l - 2