Дано:
Точка произвольным образом бросается в круг единичного радиуса.
Найти:
Коэффициент корреляции между ее декартовыми координатами.
Решение с расчетом:
Для нахождения коэффициента корреляции между координатами точки, воспользуемся формулой:
ρ = cov(X,Y) / (σX * σY),
где ρ - коэффициент корреляции, cov(X,Y) - ковариация между X и Y, σX и σY - стандартные отклонения X и Y соответственно.
Сначала найдем ковариацию cov(X,Y):
cov(X,Y) = E((X-μX)(Y-μY)),
где μX и μY - математические ожидания X и Y соответственно.
Для точки, равномерно распределенной внутри круга единичного радиуса, математические ожидания μX и μY равны 0, так как центр масс находится в центре круга.
Теперь найдем cov(X,Y):
cov(X,Y) = E(X*Y) - μX*μY.
Из-за симметрии распределения точек в круге, можно утверждать, что E(X*Y) = 0, так как при интегрировании по всей площади круга функция x*y будет симметрична относительно центра координат, а значит, интеграл от нее по всей области равен 0.
Таким образом, cov(X,Y) = 0.
Теперь найдем стандартные отклонения σX и σY:
σX = sqrt(E(X^2) - (E(X))^2) и σY = sqrt(E(Y^2) - (E(Y))^2).
Аналогично находим E(X^2) и E(Y^2) с помощью интегралов.
Так как X и Y равномерно распределены, E(X^2) и E(Y^2) равны 1/3.
Получаем стандартные отклонения: σX = sqrt(1/3) и σY = sqrt(1/3).
Теперь можем найти коэффициент корреляции:
ρ = 0 / (sqrt(1/3) * sqrt(1/3)) = 0.
Ответ:
Коэффициент корреляции между декартовыми координатами точки, брошенной внутри круга единичного радиуса, равен 0.