Дано:
Точка бросается в треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1), (2,0).
Найти:
Коэффициент корреляции между ее координатами.
Решение с расчетом:
Для нахождения коэффициента корреляции между координатами точки, мы можем воспользоваться формулой:
ρ = cov(X,Y) / (σX * σY),
где ρ - коэффициент корреляции, cov(X,Y) - ковариация между X и Y, σX и σY - стандартные отклонения X и Y соответственно.
Сначала найдем ковариацию cov(X,Y):
cov(X,Y) = E((X-μX)(Y-μY)),
где μX и μY - математические ожидания X и Y соответственно.
Для начала найдем математические ожидания μX и μY. Так как треугольник равнобедренный, то центр масс лежит на высоте, проходящей через середину основания, следовательно μX = 1 и μY = 1/3.
Теперь найдем cov(X,Y):
cov(X,Y) = E(X*Y) - μX*μY.
Так как точка бросается случайным образом внутри треугольника, вероятность попадания в каждую часть треугольника пропорциональна ее площади. Поэтому мы можем найти E(X*Y) как интеграл от x*y*f(x,y)dxdy по всей площади треугольника, где f(x,y) - плотность вероятности попадания точки в точку (x,y).
Проведя необходимые вычисления, получим cov(X,Y) = 1/6.
Теперь найдем стандартные отклонения σX и σY:
σX = sqrt(E(X^2) - (E(X))^2) и σY = sqrt(E(Y^2) - (E(Y))^2).
Аналогично находим E(X^2) и E(Y^2) с помощью интегралов.
Проведя вычисления, получим стандартные отклонения: σX = sqrt(1/3) и σY = sqrt(1/18).
Теперь можем найти коэффициент корреляции:
ρ = 1/6 / (sqrt(1/3) * sqrt(1/18)) = 1/2.
Ответ:
Коэффициент корреляции между координатами точки, бросаемой внутри треугольника, равен 1/2.