Дано:
n-гранная игральная кость, на гранях которой написаны числа от 1 до
Вероятности выпадения всех граней равны.
Суммарное число выпавших очков должно стать больше или равно .
Найти:
Математическое ожидание числа бросков.
Решение с расчетом:
Пусть X - количество бросков до достижения суммарного числа очков больше или равно .
Математическое ожидание числа бросков можно найти как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (с вероятностью p каждый раз добиться успеха):
E(X) = p + 2p(1-p) + 3p(1-p)^2 + ...
Где p - вероятность успешного броска, а (1-p) - вероятность неудачного броска.
Таким образом,
E(X) = p * (1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + ...)
Применяем формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S = a / (1 - r),
где a - первый член последовательности, r - знаменатель, |r| < 1.
Получаем:
E(X) = p / (1 - (1-p))
E(X) = p / p
Ответ:
Математическое ожидание числа бросков: 1