Дано: Вероятность успеха в одном испытании равна p, где p < 1.
Найти: Доказать, что рано или поздно успех произойдёт, как бы ни была мала вероятность p.
Решение:
Пусть A - событие "успех никогда не случится" (при бесконечном количестве испытаний), а B - событие "успех в каком-то испытании произойдёт".
Таким образом, нам нужно доказать, что P(A) = 0 и P(B) = 1.
Сначала докажем, что P(A) = 0.
Вероятность того, что не произойдет успех при одном испытании равна (1 - p). Для двух испытаний - (1-p)^2, для трех - (1-p)^3, и так далее. При бесконечном количестве испытаний это значение стремится к нулю. Таким образом, P(A) = lim(1-p)^n = 0, где n стремится к бесконечности.
Теперь докажем, что P(B) = 1.
Это вытекает из того, что противоположное событие, то есть "успех никогда не случится", имеет вероятность 0. Из этого следует, что событие "успех в каком-то испытании произойдёт" имеет вероятность 1.
Итак, мы доказали, что в случайном опыте с испытаниями до первого успеха событие "успех никогда не случится" имеет вероятность 0, а событие "успех в каком-то испытании произойдёт" имеет вероятность 1.