Дано:
- Вероятность выпуска бракованного изделия р
- Переналадка линии производится сразу после первого же бракованного изделия
Найти:
1. Среднее число всех изготовленных изделий между двумя переналадками линии
2. Дисперсию
Решение с расчетом:
Обозначим X - количество всех изготовленных изделий между двумя переналадками линии.
Вероятность первой переналадки после i изделий равна P(X=i) = (1-r)^(i-1) * r, так как нужно изготовить (i-1) небракованных изделий, а потом одно бракованное.
Среднее число всех изготовленных изделий между двумя переналадками линии:
E(X) = ∑[i=1 до ∞] i * P(X=i)
E(X) = 1 * (1-r)^0 * r + 2 * (1-r)^1 * r + 3 * (1-r)^2 * r + ...
E(X) = r * ∑[i=1 до ∞] i * (1-r)^(i-1)
E(X) = r * [(1/(1-(1-r)))^2] (сумма геометрической прогрессии)
E(X) = r * (1/r)^2 = 1/r
Дисперсия:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
E(X^2) = 1^2 * (1-r)^0 * r + 2^2 * (1-r)^1 * r + 3^2 * (1-r)^2 * r + ...
E(X^2) = r * ∑[i=1 до ∞] i^2 * (1-r)^(i-1)
E(X^2) = r * (2-r) / r^3
E(X^2) = (2-r) / r^2
Var(X) = (2-r)/r^2 - (1/r)^2
Var(X) = (2-r)/r^2 - 1/r^2
Var(X) = (1-r)/r^2
Ответ:
1. Среднее число всех изготовленных изделий между двумя переналадками линии: E(X) = 1/r
2. Дисперсия: Var(X) = (1-r)/r^2