Дано:
У Васи есть карточки с числами от 2000 до 2090.
Количество карточек, n = 91.
Найти:
Сколькими способами он может выбрать 3 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 4.
Решение:
Для того чтобы сумма трех чисел делилась на 4, необходимо, чтобы сумма остатков этих чисел по модулю 4 также делилась на 4.
Имеем 3 карточки, значит имеем 3 числа исходной последовательности. Так как остаток от деления на 4 может быть 0, 1, 2 или 3, то принцип Дирихле гласит, что хотя бы два числа из 3 имеют одинаковый остаток при делении на 4.
Теперь найдем количество способов выбрать 3 карточки так, чтобы сумма чисел на карточках делилась на 4, используя принцип Дирихле:
1. Если все три числа имеют остаток 0 при делении на 4, то количество способов выбрать такие карточки будет C(k, 3), где k - количество чисел, дающих остаток 0 при делении на 4.
2. Если два числа имеют остаток 2 при делении на 4, а одно число имеет остаток 0 при делении на 4, то количество способов будет C(k, 2) * C(m, 1), где k - количество чисел, дающих остаток 2 при делении на 4, m - количество чисел, дающих остаток 0 при делении на 4.
3. Если два числа имеют остаток 1 при делении на 4, а одно число имеет остаток 3 при делении на 4, то количество способов будет C(k, 2) * C(m, 1), где k - количество чисел, дающих остаток 1 при делении на 4, m - количество чисел, дающих остаток 3 при делении на 4.
Теперь вычислим количество способов для каждого случая:
- Количество чисел, дающих остаток 0 при делении на 4: (2090 - 2000) / 4 + 1 = 23
- Количество чисел, дающих остаток 1 при делении на 4: (2089 - 2001) / 4 + 1 = 23
- Количество чисел, дающих остаток 2 при делении на 4: (2088 - 2004) / 4 + 1 = 21
- Количество чисел, дающих остаток 3 при делении на 4: (2087 - 2003) / 4 + 1 = 21
Теперь найдем количество способов для каждого случая:
1. C(23, 3) = 1771
2. C(23, 2) * C(21, 1) = 23 * 231 = 5313
3. C(23, 2) * C(21, 1) = 23 * 231 = 5313
Теперь сложим полученные значения:
1771 + 5313 + 5313 = 12397
Ответ:
Вася может выбрать 3 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 4 12397 способами.