Дано:
Радиус кольца (R)
Заряд кольца (q)
Расстояние от центра кольца до точки наблюдения на оси (z)
Найти:
Величину напряженности электрического поля на оси кольца как функцию расстояния z от его центра.
Решение:
Напряженность электрического поля создаваемого элементом длины dl на оси кольца равна:
dE = k * dq * z / (R^2 + z^2)^(3/2),
где dE - напряженность электрического поля,
k - постоянная Кулона ≈ 9*10^9 Н·м^2/Кл^2,
dq - зарядовый элемент,
z - расстояние от центра кольца до точки наблюдения на оси,
R - радиус кольца.
Интегрируя по всей окружности, получим полную напряженность:
E = ∫dE.
Для равномерно распределенного заряда dq = q * R * dφ / (2 * π * R) = q * dφ / (2 * π), где φ - угол.
Интегрируем по всему кольцу:
E = ∫dE = ∫k * q * z / (R^2 + z^2)^(3/2) * dq.
Заменяем dq на q * dφ / (2 * π):
E = (k * q * z / (R^2 + z^2)^(3/2)) * ∫dφ,
E = (k * q * z / (R^2 + z^2)^(3/2)) * 2 * π.
Получаем:
E = (2 * π * k * q * z) / (R^2 + z^2)^(3/2).
Ответ:
Величина напряженности электрического поля на оси кольца как функция расстояния z от его центра равна (2 * π * k * q * z) / (R^2 + z^2)^(3/2).