Дано: а(-2; 2; 3), b(1; 0; -1), c(3; 4; 1), d(3; 1; -2)
Найти: разложение вектора d по векторам a, b, c
Решение:
1) Найдем скалярные произведения векторов:
- a и b: (-2)*1 + 2*0 + 3*(-1) = -2 - 3 = -5
- a и c: (-2)*3 + 2*4 + 3*1 = -6 + 8 + 3 = 5
- b и c: 1*3 + 0*4 + (-1)*1 = 3 - 1 = 2
2) Найдем коэффициенты разложения:
λ1 = ((d * a) / (a * a)) = ((3*(-2) + 1*2 + (-2)*3) / ((-2)*(-2) + 2*2 + 3*3)) = (-6 + 2 - 6) / (4 + 4 + 9) = -10 / 17
λ2 = ((d * b) / (b * b)) = ((3*1 + 1*0 + (-2)*(-1)) / (1*1 + 0*0 + (-1)*(-1))) = (3 + 2) / (1 + 1) = 5 / 2
λ3 = ((d * c) / (c * c)) = ((3*3 + 1*4 + (-2)*1) / (3*3 + 4*4 + 1*1)) = (9 + 4 - 2) / (9 + 16 + 1) = 11 / 26
3) Разложение вектора d по векторам a, b, c:
d = λ1a + λ2b + λ3c = -10/17 * (-2; 2; 3) + 5/2 * (1; 0; -1) + 11/26 * (3; 4; 1)
Ответ: d = (-30/17; 10/17; -15/17) + (5/2; 0; -5/2) + (99/26; 44/13; 11/26)