Дано:
∠BDA = 30°, CC1 = 6 см, AD = 4 см
Найти:
Объем прямоугольного параллелепипеда
Решение:
Из условия известно, что ∠BDA = 30°. Так как ABCD - прямоугольник, то у него AC ⊥ BD.
Используем тригонометрический закон синусов в треугольнике ACD:
AD/sin(∠CAD) = AC/sin(∠ACD)
4/sin(60°) = AC/sin(90°)
AC = 4√3 см
Так как CC1 = 6 см, то C1C = AC = 4√3 см.
Обозначим BC1 = x. Тогда BC = BD - CD = BC1 - CC1 = x - 6.
Из сегмента BC1C получаем: BC^2 = x(x - 6)
Используем тригонометрический закон косинусов в треугольнике BCD:
BC^2 + CD^2 - 2 * BC * CD * cos(∠BCD) = BD^2
x(x - 6) + 6^2 - 2 * 6 * x * cos(30°) = 4^2
x^2 - 6x + 36 - 6x = 16
x^2 - 12x - 92 = 0
(x - 14)(x + 2) = 0
x = 14 (так как x > 0)
Таким образом, BC1 = 14 см, а BC = 8 см.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его трех измерений:
V = AB * BC * AD = 8 * 14 * 4 = 448 см³
Ответ:
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 448 кубическим сантиметрам.