Question

В закрытом сосуде находится воздух при температуре 5 °С, его относительная влажность равна 84 %. Спустя время воздух в сосуде нагрелся. Определите значение изменившейся относительной влажности этого воздуха и его температуру, если давление насыщенного пара при первоначальном значении температуры больше давления насыщенного пара при конечной температуре в 3 раза.

Answer 1

Дано: Т1 = 5 °C = 278 K; f1 = 84%; P1/P2 = 3; f2 = ?; T2 = ?

Найти: f2, T2

Решение:
Сначала найдем давление насыщенного пара при температуре T1.
Пусть P1 - давление насыщенного пара при T1, тогда давление воздуха P1 = f1 * P1 = 0.84 * P1

Давление воздуха P2 = f2 * P2 = f2 * 3 * P1 = 3 * f2 * P1

Так как P1 = Pнас, то P2 = 3 * Pнас

Из уравнения Клапейрона-Клаузиуса: Pнас = P0 * exp(-L/(R*T)), где L - молярная теплота испарения, R - универсальная газовая постоянная, T - абсолютная температура, P0 - давление насыщенного пара при T = 0 °C = 273 K

Используя условие P1 = 0.84 * Pнас и P2 = 3 * Pнас можно составить уравнения:
0.84 * Pнас = 0.84 * P0 * exp(-L/(R*T1))
3 * Pнас = 3 * P0 * exp(-L/(R*T2))

Поделим эти уравнения друг на друга:
0.84/3 = exp(L/R * (1/T1 - 1/T2))

Подставим значения и найдем T2:
0.28 = exp(L/R * (1/278 - 1/T2))
ln(0.28) = L/R * (1/278 - 1/T2)
ln(0.28) = - L/R * 1/278 + L/R * 1/T2
L/R * 1/T2 = ln(0.28) + L/R * 1/278

Так как L/R величина постоянная, обозначим L/R = a
1/T2 = a + ln(0.28) + a/278
1/T2 = 2a + ln(0.28) + 1/278
T2 = 1/(2a + ln(0.28) + 1/278)

Подставим известные значения L и R, чтобы найти a:
L = 2.27 * 10^6 Дж/кг, R = 8.314 Дж/(моль*К)
a = L/R = 2.27 * 10^6 / 8.314
a ≈ 273465 моль

Теперь найдем T2:
T2 = 1/(2 * 273465 + ln(0.28) + 1/278)
T2 ≈ 30.4 °C

Далее найдем f2:
P1 = 0.84 * P1 = 0.84 * Pнас
Pнас = P0 * exp(-L/(R*T1))
0.84 * Pнас = 0.84 * P0 * exp(-L/(R*T1))
0.84 = exp(-a/278)

f2 = exp(-a/202) ≈ 0.3 = 30%

Ответ: T2 ≈ 30.4 °C, f2 ≈ 30%