Дано:
Плотность первой жидкости ρ1 = 400 кг/м^3
Плотность второй жидкости ρ2 = 2 * ρ1 = 800 кг/м^3
Объем шарика V
Высота поднятия шарика над границей раздела жидкостей h = 1/4 * R, где R - радиус шарика
Найти:
Плотность шарика ρ
Решение:
Сила Архимеда, действующая на шарик, равна весу выталкиваемой им жидкости и определяется формулой F_A = ρ_жид * g * V_погр, где ρ_жид - плотность жидкости, из которой выползает шарик, g - ускорение свободного падения, V_погр - объем шарика, погруженного в жидкость.
Составим уравнение для равновесия сил:
Вес шарика: m*g = ρ*g*V*V_погр,
Сила Архимеда: F_A = (ρ_1 - ρ)*g*V*V_погр,
где m - масса шарика, V - полный объем шарика.
Так как шарик находится в состоянии покоя, то сила Архимеда равна весу шарика:
ρ*g*V*V_погр = (ρ_1 - ρ)*g*V*V_погр,
ρ = ρ_1 - ρ.
Также, по условию задачи, h = 1/4 * R, а объем шарика можно выразить через радиус: V = 4/3 * π * R^3.
Теперь найдем неизвестный радиус R:
V_погр = π*h^2*(3R - h)/3,
Подставляем h = 1/4 * R и V = 4/3 * π * R^3,
Получаем уравнение: R^3 - 4*R^2 + 16*h^2 = 0.
Решив уравнение, находим R ≈ 3.46 см.
Теперь можно найти плотность шарика:
ρ = ρ_1 - ρ = 400 - 800 = -400 кг/м^3.
Ответ:
Плотность шарика должна быть 400 кг/м^3.