Дано:
S — площадь поперечного сечения цилиндра = 10^(-2) м²
ρ1 — плотность первой жидкости = 800 кг/м³
ρ2 — плотность второй жидкости = 1000 кг/м³
T — период малых вертикальных колебаний = π/5 с
Найти:
массу цилиндра m.
Решение:
1. Используем формулу для периода колебаний тела, плавающего на границе двух жидкостей:
T = 2π√(m / F),
где F — сила Архимеда.
2. Сила Архимеда F равна весу вытесненной жидкости. Для цилиндра, погруженного в обе жидкости, F = V * ρ2 * g, где V — объем цилиндра, а g — ускорение свободного падения. Поскольку объем цилиндра равен S * h, где h — высота погружения, то F = S * h * ρ2 * g.
3. Период колебаний можно переписать как:
T = 2π√(m / (S * h * ρ2 * g)).
4. Из этого уравнения выразим массу m:
m = (T² * S * h * ρ2 * g) / (4π²).
5. Теперь нам нужно выразить h. Поскольку цилиндр плавает на границе, он вытесняет объем жидкости с плотностью ρ2. Используем условие равновесия:
m * g = V * ρ2 * g,
где V — объем погруженной части цилиндра. Таким образом,
m = V * ρ2 = S * h * ρ2.
6. Приравняем два уравнения для массы:
S * h * ρ2 = (T² * S * h * ρ2 * g) / (4π²).
7. Упрощаем:
1 = (T² * g) / (4π²).
8. Выразим g:
g = (4π²) / T².
9. Подставим T = π/5:
g = (4π²) / (π/5)² = 100 m/s² (принимаем g как 10 м/с² для приближенных расчетов).
10. Подставляем значение g обратно в уравнение для массы:
m = S * h * ρ2.
Так как мы не знаем h, можем выразить h через m:
h = m / (S * ρ2).
11. Таким образом,
m = (T² * S * (m / (S * ρ2)) * ρ2 * g) / (4π²),
что дает
m = (T² * ρ2 * g) / (4π²).
12. Подставим g = 10 м/с², S = 0.01 м², ρ2 = 1000 кг/м³, T = π/5:
m = ((π/5)² * 1000 * 10) / (4π²) = (1000 * 10) / 100 = 100 кг.
Ответ:
Масса цилиндра m равна 100 кг.