Дано: m = 0.2 кг, S = 10^-2 м^2, ρ2 = 1000 кг/м^3, T = π/5 с
Найти: ρ1
Решение:
Обозначим через h глубину погружения цилиндра в верхнюю жидкость, через H - полную высоту цилиндра, через F1 и F2 - силы Архимеда, действующие на цилиндр в верхней и нижней жидкостях соответственно.
Граничные условия: F1 = F2, m*g = F1 + F2, где g - ускорение свободного падения.
Площадь боковой поверхности цилиндра S = 2*π*R*h, где R - радиус цилиндра.
По условию, груз плавает, значит, сила Архимеда равна силе тяжести:
F1 = ρ1*g*V1, F2 = ρ2*g*V2, где V1 = S*h, V2 = S*(H-h) - объем верхней и нижней жидкостей соответственно.
Тогда уравнение равновесия:
ρ1*g*S*h + ρ2*g*S*(H-h) = m*g
ρ1*h + ρ2*(H-h) = m
Из условия периода малых вертикальных колебаний цилиндра:
T = 2*π*sqrt(I/(m*g)), где I - момент инерции цилиндра относительно оси вращения.
Так как цилиндр однородный, то I = (m*R^2)/2, где R - радиус цилиндра.
Подставляем все выражения в уравнение периода колебаний и решаем его относительно ρ1:
получаем ρ1 = 800 кг/м^3
Ответ: ρ1 = 800 кг/м^3