Дано:
Плотность первой жидкости ρ1 = 900 кг/м^3
Плотность второй жидкости ρ2 = 3 * ρ1
Найти:
Плотность шарика ρ, при которой выше границы раздела жидкостей будет одна четверть его объема
Решение:
Пусть V - объем шарика. Тогда объем погруженной части шарика в первую жидкость будет V1 = V/4.
Так как плотности жидкостей различны, на шар действуют моменты Архимеда, равные весу вытесненной ими жидкости: F1 = ρ1*V1*g и F2 = ρ2*V2*g, где g - ускорение свободного падения.
Так как шар находится в равновесии, моменты сил относительно границы раздела равны. Тогда момент Архимеда первой жидкости равен моменту Архимеда второй жидкости:
F1*d = F2*(V-V1),
где d - расстояние от границы раздела до центра масс шарика.
Так как F1 = ρ1*V1*g и F2 = ρ2*V2*g, можем переписать уравнение:
ρ1*V1*g*d = ρ2*(V-V1)*g*d,
ρ1*V1 = ρ2*(V-V1),
ρ1*V1 = ρ2*V-ρ2*V1,
ρ1*V1+ρ2*V1 = ρ2*V,
(ρ1+ρ2)*V1 = ρ2*V,
V1/V = ρ2/(ρ1+ρ2).
Подставим V1/V = 1/4 и ρ2 = 3*ρ1:
1/4 = 3*ρ1 / (900 + 3*900),
1/4 = 3*ρ1 / 3600,
3*ρ1 = 900,
ρ1 = 300 кг/м^3.
Ответ:
Плотность шарика должна быть 300 кг/м^3.