Question

Звезда и массивная планета обращаются вокруг общего неподвижного центра масс по круговым орбитам. Найдите радиус орбиты планеты r, если известно, что масса планеты равна m, а скорость движения звезды и радиус ее орбиты равны v и R соответственно.

Answer 1

Дано: масса планеты m, скорость движения звезды v, радиус орбиты звезды R

Найти: радиус орбиты планеты r

Решение:

Используем законы сохранения импульса и гравитационного взаимодействия.
Масса звезды M гораздо больше массы планеты m, поэтому вся система движется относительно центра масс системы, расположенного внутри звезды.

Импульс системы:
M * V = (M + m) * v
где V - скорость звезды относительно центра масс, v - скорость звезды относительно планеты

Используем закон всемирного тяготения:
G * M * m / R^2 = m * v^2 / R
где G - постоянная всемирного тяготения

Разберем второе уравнение:
v = sqrt(G * M / R)

Подставляем выражение для v в первое уравнение:
M * sqrt(G * M / R) = (M + m) * sqrt(G * M / R)

Поделим одно уравнение на другое и получим:
R = sqrt(M * m) / (M + m) * r

Отсюда:
r = R * (M + m) / sqrt(M * m)

Ответ: р = R * (M + m) / sqrt(M * m)