Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m1 = 60 кг. На какой угол φ повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе? Масса m2 платформы равна 240 кг. Момент инерции J человека рассчитывать как для материальной точки.
от

1 Ответ

Дано:  
m1 = 60 кг  
m2 = 240 кг  
J = m1 * R^2  
где J - момент инерции человека относительно оси вращения платформы, R - радиус платформы.  

Найти:  
φ - угол поворота платформы.  

Решение:  
По условию, момент импульса замкнутой системы (человек + платформа) сохраняется. Поэтому можно использовать закон сохранения момента импульса:  
m1 * R * v1 = (m1 * R^2) * ω + m2 * R^2 * ω  
где v1 - скорость человека, ω - угловая скорость платформы.  

Так как человек возвращается в исходную точку, суммарное перемещение равно нулю, а значит суммарный угловой сдвиг также равен нулю:  
0 = m1 * R * v1 - (m1 * R^2 + m2 * R^2) * ω  
m1 * R * v1 = (m1 * R^2 + m2 * R^2) * ω  
60 * R * v1 = (60 * R^2 + 240 * R^2) * ω  

60 * R * v1 = 300 * R^2 * ω  
v1 = 5 * R * ω  

Также, так как человек вращается вместе с платформой, его скорость связана со скоростью платформы:  
v1 = R * ω  

Подставляем это в уравнение:  
R * ω = 5 * R * ω  
5 * R * ω = 300 * R^2 * ω  

5 = 300 * R  
R = 5 / 300  
R = 1/60  

Таким образом, радиус платформы равен 1/60 м.  

Угол поворота платформы определяется через перемещение человека по кругу:  
φ = 2π * R  

φ = 2π * (1/60)  
φ = 2π / 60  
φ = π / 30 рад  

Ответ:  
Платформа повернется на угол φ = π / 30 радиан.
от