Дано: Δh = 4 см ρ₁ = 1000 кг/м³ (плотность воды) ρ₂ = 800 кг/м³ (плотность керосина)
Найти: h - толщина слоя керосина
Решение:
Для плавающего цилиндра сила тяжести, действующая на цилиндр, равна сумме сил выталкивания со стороны воды и со стороны керосина:
mg = ρ₁ * g * V₁ + ρ₂ * g * V₂
где m - масса цилиндра, g - ускорение свободного падения, V₁ - объем цилиндра, погруженный в воду, V₂ - объем цилиндра, погруженный в керосин.
Так как при подливании керосина высота части цилиндра, находящейся в воде, уменьшается на Δh, то объем цилиндра, погруженный в воду, уменьшается на:
ΔV₁ = S * Δh
где S - площадь поперечного сечения цилиндра.
Аналогично, объем цилиндра, погруженный в керосин, увеличивается на:
ΔV₂ = S * h
Подставляя эти выражения в уравнение равновесия, получаем:
mg = ρ₁ * g * (V₁ - ΔV₁) + ρ₂ * g * (V₂ + ΔV₂) mg = ρ₁ * g * V₁ - ρ₁ * g * ΔV₁ + ρ₂ * g * V₂ + ρ₂ * g * ΔV₂ mg = (ρ₁ * V₁ + ρ₂ * V₂) * g - (ρ₁ * ΔV₁ - ρ₂ * ΔV₂) * g
Поскольку в исходном состоянии цилиндр плавал в воде, имеем:
mg = (ρ₁ * V₁ + 0) * g ρ₁ * V₁ = m
Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем:
mg = (ρ₁ * V₁ + ρ₂ * V₂) * g - (ρ₁ * ΔV₁ - ρ₂ * ΔV₂) * g m = (ρ₁ * V₁ + ρ₂ * V₂) - (ρ₁ * ΔV₁ - ρ₂ * ΔV₂) ρ₂ * ΔV₂ - ρ₁ * ΔV₁ = (ρ₁ * V₁ + ρ₂ * V₂) - m
Подставляя выражения для ΔV₁ и ΔV₂, получаем:
ρ₂ * S * h - ρ₁ * S * Δh = (ρ₁ * V₁ + ρ₂ * V₂) - m ρ₂ * h - ρ₁ * Δh = (m / g) * (ρ₁ / ρ₂) + (m / g)
ρ₂ * h - ρ₁ * Δh = (1000 кг/м³ / 800 кг/м³) * (1 кг / 10 м/с²) + 1 кг / 10 м/с² ρ₂ * h - ρ₁ * Δh = 1,25 м + 0,1 м ρ₂ * h - ρ₁ * Δh = 1,35 м
ρ₂ * h = ρ₁ * Δh + 1,35 м h = (ρ₁ * Δh + 1,35 м) / ρ₂
Подставляя значения, получаем:
h = (1000 кг/м³ * 0,04 м + 1,35 м) / 800 кг/м³ = 0,05 м = 5 см
Ответ: 5 см