Дано:
- радиус пробирки R
- уровень воды в пробирке после первого налива h1
- уровень воды в пробирке после второго налива h2
- плотность воды ρ_вода = 1000 кг/м³
- ускорение свободного падения g = 9.8 м/с²
Найти:
- толщину стенки пробирки t.
Решение:
Для начала разберемся, что произошло. Когда в пробирку налили воду до уровня h1, пробирка плавала, но затем, когда вода внутри пробирки поднялась на h2, пробирка опустилась еще глубже. Это происходит потому, что пробирка заполняется водой, и её общий объем увеличивается. Поскольку пробирка продолжает плавать, то её масса и масса выталкиваемой воды должны быть равны.
Шаг 1. Объем выталкиваемой воды
Когда пробирка плавает, выталкивается объем воды, равный объему погруженной части пробирки. Когда уровень воды внутри пробирки стал h1, пробирка выталкивала объем воды V1, а когда уровень воды внутри стал h2, выталкивается объем V2. Разница этих объемов будет равна изменению объема выталкиваемой воды.
Площадь поперечного сечения пробирки (без учета стенок) равна S = πR².
Теперь объем выталкиваемой воды можно записать как:
V1 = S * h1
V2 = S * h2
Шаг 2. Масса выталкиваемой воды
Масса выталкиваемой воды будет равна плотности воды ρ_вода, умноженной на объем выталкиваемой воды:
m1 = ρ_вода * V1 = ρ_вода * π * R² * h1
m2 = ρ_вода * V2 = ρ_вода * π * R² * h2
Шаг 3. Масса пробирки
Так как пробирка продолжает плавать и в состоянии равновесия, масса выталкиваемой воды равна массе пробирки (включая воду внутри). Масса пробирки будет зависеть от её стенки. Если обозначить толщину стенки пробирки через t, то объём стенок будет вычисляться как разница между объёмом внешнего цилиндра (с радиусом R + t) и внутреннего цилиндра (с радиусом R):
Объем стенки пробирки (Vстенка) будет:
Vстенка = π * (R + t)² * h1 - π * R² * h1 = π * h1 * ( (R + t)² - R² )
Масса стенки пробирки:
mстенка = ρ_вода * Vстенка = ρ_вода * π * h1 * ( (R + t)² - R² )
Шаг 4. Уравнение равновесия
Когда пробирка плавает в сосуде, масса выталкиваемой воды равна массе пробирки. Поскольку масса пробирки пропорциональна объему её стенок, а масса выталкиваемой воды пропорциональна объему, то для равновесия можно записать:
mстенка = m2 - m1
Подставляем выражения для масс:
ρ_вода * π * h1 * ( (R + t)² - R² ) = ρ_вода * π * R² * (h2 - h1)
Упростим уравнение:
h1 * ((R + t)² - R²) = R² * (h2 - h1)
Раскроем скобки:
h1 * (R² + 2Rt + t² - R²) = R² * (h2 - h1)
Упростим:
h1 * (2Rt + t²) = R² * (h2 - h1)
Теперь решим относительно t:
t ≈ (R² * (h2 - h1)) / (h1 * 2R + h1 * t)
Ответ:
Толщина стенки пробирки приблизительно равна t ≈ (R² * (h2 - h1)) / (h1 * 2R + h1 * t)