Дано: υ₀ = 4 м/с L = 1 м α = 30° μ = 0,2
Найти: R - внешний радиус трубы
Решение:
В точке A скорость шайбы направлена параллельно наклонной плоскости, а в точке B перпендикулярно ей.
На участке AB
Сила трения:
Fтр = μ * N = μ * m * g * cos α
Уравнение движения по оси X:
∑Fx = m * ax -Fтр = m * a
Уравнение движения по оси Y:
∑Fy = m * ay N - m * g * sin α = 0 N = m * g * sin α
Подставляя выражение для N в уравнение для силы трения, получаем:
Fтр = μ * m * g * sin α * cos α = μ * m * g * sin 2α
Уравнение движения:
a = -μ * g * sin 2α
Путь, пройденный шайбой по наклонной плоскости:
s = L * sin α
Начальная скорость:
v₀x = v₀ * cos α
Конечная скорость в точке B:
vBx² = v₀x² + 2 * a * s vBx² = v₀² * cos² α - 2 * μ * g * sin 2α * L * sin α
vBx = v₀ * cos α * √(1 - 2 * μ * tan α)
На участке BC
Под действием силы тяжести шайба движется по окружности радиусом R + vBx²/g:
R + vBx²/g = (vBx/ω)² ω = vBx / √(R + vBx²/g)
Период обращения по окружности:
T = 2π / ω = 2π * √(R + vBx²/g) / vBx
Время движения по окружности до отрыва:
t = T/4
За это время шайба пройдет четверть окружности:
φ = π/2
Угловое ускорение:
α = φ/t = π/2 * vBx / √(R + vBx²/g)
Уравнение углового движения:
vBc = vBx + α * t = vBx + π/2 * vBx / √(R + vBx²/g) * T/4 vBc = vBx * (1 + π/8)
Условие отрыва:
vBc²/(R + vBx²/g) = g vBx² * (1 + π/8)² = g * (R + vBx²/g) vBx² * (65/64) = g * R vBx² = 64gR / 65
Подставляя выражение для vBx из участка AB, получаем:
v₀² * cos² α * (1 - 2 * μ * tan α) = 64gR / 65
R = v₀² * cos² α * (1 - 2 * μ * tan α) * 65 / (64g)
R = 4² * cos² 30° * (1 - 2 * 0,2 * tan 30°) * 65 / (64 * 10)
R ≈ 0,29 м = 29 см
Ответ: 29 см