Дано:
Пусть ρ₁ и ρ₂ - плотности материалов, из которых изготовлены кубики.
Пусть V₁ и V₂ - объемы кубиков до изменения линейных размеров.
Пусть P - давление на столе до изменения размеров.
Пусть P' - давление на столе после изменения размеров.
Пусть V'₁ и V'₂ - объемы кубиков после изменения линейных размеров.
Найти: отношение плотностей материалов ρ₁/ρ₂.
Решение:
Из условия задачи имеем:
P' = 4P,
V'₁ = 2³V₁ = 8V₁,
V'₂ = 3³V₂ = 27V₂.
Из уравнения состояния для давления:
P = ρ₁ * g * h₁ + ρ₂ * g * h₂,
где h₁ и h₂ - высоты кубиков, g - ускорение свободного падения.
После изменения размеров:
P' = ρ₁ * g * h'₁ + ρ₂ * g * h'₂,
где h'₁ и h'₂ - новые высоты кубиков.
Так как давление на столе увеличилось в 4 раза, значит:
4P = ρ₁ * g * h'₁ + ρ₂ * g * h'₂.
Также, из определения плотности:
ρ₁ = m₁ / V₁,
где m₁ - масса нижнего кубика,
ρ₂ = m₂ / V₂,
где m₂ - масса верхнего кубика.
Из условия задачи, плотности не изменяются, значит:
m₁ = ρ₁ * V₁,
m₂ = ρ₂ * V₂.
Таким образом, подставляя все известные значения и уравнения, получаем:
4(ρ₁ * g * h₁ + ρ₂ * g * h₂) = ρ₁ * g * 8h₁ + ρ₂ * g * 27h₂.
Упрощая уравнение, получаем:
4(ρ₁ * h₁ + ρ₂ * h₂) = 8ρ₁ * h₁ + 27ρ₂ * h₂.
Далее, выражаем отношение плотностей:
4ρ₁ * h₁ + 4ρ₂ * h₂ = 8ρ₁ * h₁ + 27ρ₂ * h₂,
4ρ₂ * h₂ - 27ρ₂ * h₂ = 8ρ₁ * h₁ - 4ρ₁ * h₁,
ρ₂(4h₂ - 27h₂) = 4ρ₁(2h₁),
ρ₂ = 2ρ₁(2h₁) / (4h₂ - 27h₂),
ρ₂ = 4ρ₁h₁ / 8h₂ - 27h₂,
ρ₂ = ρ₁ / 5.
Ответ: отношение плотностей материалов, из которых изготовлены кубики, равно 1/5.