Дано: вероятность выпадения орла или решки при одном бросании монеты равна 0.5
а) Найти вероятность появления ровно 3 орлов при 3 бросаниях монеты.
Решение:
Воспользуемся формулой Бернулли для вероятности появления k успехов в серии из n независимых испытаний:
P(k) = Cn_k * p^k * q^(n-k),
где Cn_k - число сочетаний из n по k,
p - вероятность успеха,
q - вероятность неудачи (1-p).
В данном случае, n=3 (3 бросания), k=3 (3 орла), p=0.5, q=0.5.
C3_3 = 1,
(0.5)^3 = 0.125.
P(3) = 1 * 0.125 * 0.125 = 0.125.
Ответ: вероятность появления ровно 3 орлов при 3 бросаниях монеты равна 0.125.
Аналогично рассчитаем для остальных вариантов.
б) 5 бросаний:
n=5, k=3, p=0.5, q=0.5.
C5_3 = 10,
(0.5)^3 = 0.125.
P(3) = 10 * 0.125 * 0.125 = 0.3125.
Ответ: вероятность появления ровно 3 орлов при 5 бросаниях монеты равна 0.3125.
в) 7 бросаний:
n=7, k=3, p=0.5, q=0.5.
C7_3 = 35,
(0.5)^3 = 0.125.
P(3) = 35 * 0.125 * 0.125 = 0.546875.
Ответ: вероятность появления ровно 3 орлов при 7 бросаниях монеты равна 0.546875.
г) 9 бросаний:
n=9, k=3, p=0.5, q=0.5.
C9_3 = 84,
(0.5)^3 = 0.125.
P(3) = 84 * 0.125 * 0.125 = 1.05.
Ответ: вероятность появления ровно 3 орлов при 9 бросаниях монеты равна 1.05.
д) 8 бросаний:
n=8, k=3, p=0.5, q=0.5.
C8_3 = 56,
(0.5)^3 = 0.125.
P(3) = 56 * 0.125 * 0.125 = 0.875.
Ответ: вероятность появления ровно 3 орлов при 8 бросаниях монеты равна 0.875.
е) p бросаний:
n=p, k=3, p=0.5, q=0.5.
Cp_3 = p! / [(p-3)! * 3!],
(0.5)^3 = 0.125.
P(3) = Cp_3 * 0.125 * 0.125 = p! / [(p-3)! * 3!] * 0.125^2.
Ответ: вероятность появления ровно 3 орлов при p бросаниях монеты равна p! / [(p-3)! * 3!] * 0.125^2.