а)
Дано: p = 0,4, n = 4
Найти:
1) Вероятность того, что наступит более двух успехов
Решение:
P(X > 2) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2))
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
P(X = 0) = C(4, 0) * 0,4^0 * (1-0,4)^(4-0) = 1 * 1 * 0,6^4 = 0,1296
P(X = 1) = C(4, 1) * 0,4^1 * (1-0,4)^(4-1) = 4 * 0,4 * 0,6^3 = 0,3456
P(X = 2) = C(4, 2) * 0,4^2 * (1-0,4)^(4-2) = 6 * 0,16 * 0,36 = 0,3456
P(X > 2) = 1 - (0,1296 + 0,3456 + 0,3456) = 1 - 0,8208 = 0,1792
Ответ: вероятность того, что в серии из 4 испытаний наступит более двух успехов равна 0,1792
б)
Дано: p = 0,4, n = 4
Найти:
2) Вероятность того, что наступит не более двух неудач
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
Решение:
Аналогично предыдущему расчету:
P(X = 0) = 0,1296
P(X = 1) = 0,3456
P(X = 2) = 0,3456
P(X ≤ 2) = 0,1296 + 0,3456 + 0,3456 = 0,8208
Ответ: вероятность того, что в серии из 4 испытаний наступит не более двух неудач равна 0,8208
в)
Дано: p = 0,4, n = 4
Найти:
3) Вероятность того, что не все испытания окончились неудачей
P(X < 4) = 1 - P(X = 4)
Решение:
P(X = 4) = C(4, 4) * 0,4^4 * (1-0,4)^(4-4) = 1 * 0,4^4 * 1 = 0,0256
P(X < 4) = 1 - 0,0256 = 0,9744
Ответ: вероятность того, что не все испытания окончились неудачей равна 0,9744
г)
Дано: p = 0,4, n = 4
Найти:
4) Вероятность того, что наступит менее четырех успехов
P(X < 4) = P(X ≤ 3)
Решение:
P(X = 0) = 0,1296
P(X = 1) = 0,3456
P(X = 2) = 0,3456
P(X = 3) = C(4, 3) * 0,4^3 * (1-0,4)^(4-3) = 4 * 0,064 * 0,6 = 0,1536
P(X < 4) = 0,1296 + 0,3456 + 0,3456 + 0,1536 = 0,9744
Ответ: вероятность того, что в серии из 4 испытаний наступит менее четырех успехов равна 0,9744