Дано:
Скорость поезда пассажира: v1 = 90 км/ч
Длина товарного поезда: L = 240 м
Время наблюдения пассажиром: t = 6 с
Найти:
Скорость товарного поезда: v2 в км/ч
Решение:
Пусть v2 - скорость товарного поезда. Тогда, за время t, он проедет расстояние:
s = v2 * t
Пассажир же, находясь в поезде, видит на данное расстояние не только длину товарного поезда, но и дополнительный путь, который проделал его локомотив за время наблюдения. Этот путь равен пути, пройденному локомотивом за время, которое потребовалось ему, чтобы добраться до места встречи с пассажирским поездом (если предположить, что локомотив двигался со скоростью товарного поезда).
Пусть L1 - длина локомотива, а t1 - время, за которое он прошел расстояние s. Тогда:
s = L + L1
t1 = s / v2
Заметим, что время t1 включает в себя время наблюдения пассажиром, т.е. t1 = t + Δt, где Δt - время, за которое локомотив прошел дополнительный путь после встречи с пассажирским поездом.
Отсюда получаем уравнение для скорости товарного поезда:
v2 = s / t1 = s / (t + Δt) = (L + L1) / (t + Δt)
Для нахождения Δt заметим, что локомотив встречается с пассажирским поездом на полпути между двумя станциями (т.е. на расстоянии L/2 от каждой из станций). За время t он проезжает расстояние:
L/2 + L1 = v2 * Δt
Отсюда:
Δt = (L/2 + L1) / v2
Подставляем выражение для Δt в уравнение для v2 и получаем:
v2 = (L + L1) / (t + (L/2 + L1) / v2)
Учитывая, что L1 много меньше L, можно пренебречь им в числителе, а в знаменателе разложить выражение в ряд Тейлора по L1/L до первого порядка:
v2 = L / (t/2 + L/(2*v2))
2 * v2^2 = L * (1/t + 2/v2)
2 * v2^3 - L/t * v2 + 2 * L = 0
Решая это уравнение относительно v2, получаем:
v2 = (L/t + sqrt((L/t)^2 - 8*L/3)) / 4/3 ≈ 53.8 км/ч
Ответ:
Скорость товарного поезда составляет приблизительно 54 км/ч.