Дано: длина проволоки - 20 см
Найти: вероятность того, что площадь рамки не превосходит 21 см^2
Решение:
Обозначим длины отрезков проволоки а, b, c (a≤b≤c) после изгиба.
Тогда площадь рамки равна S = ab, где a = 20 - b - c.
Из условия задачи:
1. b ≤ 10 см (чтобы площадь рамки была меньше или равна 21 см^2)
2. c ≤ 10 см (так как общая длина рамки должна быть не больше 20 см)
Итак, необходимо найти вероятность того, что S ≤ 21:
P(S ≤ 21) = P(ab ≤ 21) = P(a(20-a) ≤ 21) = P(a^2 - 20a + 21 ≤ 0)
Дискриминант этого квадратного неравенства равен D = (-20)^2 - 4*1*21 = 400 - 84 = 316.
Корни уравнения a^2 - 20a + 21 = 0 равны:
a1 = (20 + √316) / 2 ≈ 19.08 см
a2 = (20 - √316) / 2 ≈ 0.92 см
Таким образом, для выполнения условия S ≤ 21 должно быть: 0.92 ≤ a ≤ 10
Подсчитаем вероятность:
P(S ≤ 21) = P(0.92 ≤ a ≤ 10) = (10 - 0.92) / 10 = 0.908
Ответ: Вероятность того, что площадь рамки не превосходит 21 см^2 равна 0.908.