Дано:
n = 5 (количество вопросов)
k = 3 (количество вариантов ответа)
p = 1/3 (вероятность правильного ответа на каждый вопрос)
Найти:
Случайная величина ξ - число правильных ответов на вопросы теста
Решение:
Используем биномиальное распределение:
P(ξ = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),
где C(n, k) - число сочетаний из n по k, равно C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!).
Для k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, найдем вероятности:
P(ξ = 0) = C(5, 0) * (1/3)^0 * (2/3)^5,
P(ξ = 1) = C(5, 1) * (1/3)^1 * (2/3)^4,
P(ξ = 2) = C(5, 2) * (1/3)^2 * (2/3)^3,
P(ξ = 3) = C(5, 3) * (1/3)^3 * (2/3)^2,
P(ξ = 4) = C(5, 4) * (1/3)^4 * (2/3)^1,
P(ξ = 5) = C(5, 5) * (1/3)^5 * (2/3)^0.
Выполним расчеты:
C(5, 0) = 1,
C(5, 1) = 5,
C(5, 2) = 10,
C(5, 3) = 10,
C(5, 4) = 5,
C(5, 5) = 1.
Теперь найдем вероятности:
P(ξ = 0) = 1 * (1/3)^0 * (2/3)^5 = 32/243,
P(ξ = 1) = 5 * (1/3)^1 * (2/3)^4 = 160/243,
P(ξ = 2) = 10 * (1/3)^2 * (2/3)^3 = 80/243,
P(ξ = 3) = 10 * (1/3)^3 * (2/3)^2 = 80/243,
P(ξ = 4) = 5 * (1/3)^4 * (2/3)^1 = 40/243,
P(ξ = 5) = 1 * (1/3)^5 * (2/3)^0 = 32/243.
Ответ:
P(ξ = 0) = 32/243,
P(ξ = 1) = 160/243,
P(ξ = 2) = 80/243,
P(ξ = 3) = 80/243,
P(ξ = 4) = 40/243,
P(ξ = 5) = 32/243.