Дано:
Частота колебаний f = 2 Гц
Начальная фаза φ = 15°
Найти:
Время, через которое кинетическая энергия впервые будет равна потенциальной.
Решение:
Период колебаний T связан с частотой формулой:
T = 1 / f
Переведем начальную фазу в радианы:
φ = 15° × π / 180 = π / 12
Уравнение колебательного движения в гармоническом случае можно записать как:
x(t) = A cos(2π f t + φ)
где x(t) - смещение от положения равновесия в момент времени t, A - амплитуда колебаний, f - частота колебаний, t - время, φ - начальная фаза.
Кинетическая энергия K и потенциальная энергия U связаны с смещением формулами:
K = 1 / 2 m v^2 = 1 / 2 m (ω A)^2 sin^2(ω t + φ)
U = 1 / 2 k x^2 = 1 / 2 k A^2 cos^2(ω t + φ)
Где m - масса тела, v - скорость, k - коэффициент жесткости, ω = 2π f - угловая частота.
Чтобы кинетическая энергия стала равной потенциальной, амплитуда колебаний должна быть максимальной. Максимальная амплитуда достигается в момент времени, когда синус равен 1 или -1, что соответствует моменту времени, когда косинус равен 0.
Это происходит при ω t + φ = π / 2 + nπ, где n - целое число.
Таким образом, t можно выразить как:
t = (π / 2 - φ) / ω + nπ / ω
Подставим известные значения и найдем t. Поскольку нас интересует первый момент времени, когда это произойдет, возьмем n = 0.
t = ((π / 2 - π / 12) / (2π × 2))
t = (5π / 12) / (4π)
t = 5 / 48
Ответ:
Кинетическая энергия впервые станет равной потенциальной через 5 / 48 секунд.