Question

Груз массой 200 г совершает колебания на пружине жесткостью 0,25 кН/м, амплитуда колебаний — 10 см. Найдите смещение груза относительно положения равновесия в момент, когда его скорость на 30% меньше максимального значения скорости.

Answer 1

Дано:  
- масса груза m = 200 г = 0.2 кг (приведем к килограммам)  
- жесткость пружины k = 0.25 кН/м = 250 Н/м (приведем к Ньютонам)  
- амплитуда колебаний A = 10 см = 0.1 м (приведем к метрам)  

Найти: смещение груза x относительно положения равновесия, когда его скорость на 30% меньше максимального значения скорости.

Решение:  
Сначала найдем максимальную скорость колебаний. Максимальная скорость в простом гармоническом движении дается формулой:  
v_max = A * ω,  
где ω = √(k/m) — угловая частота.

Сначала найдем ω:  
ω = √(k/m)  
ω = √(250 Н/м / 0.2 кг)  
ω = √(1250)  
ω ≈ 35.36 рад/с  

Теперь найдем максимальную скорость:  
v_max = A * ω  
v_max = 0.1 м * 35.36 рад/с  
v_max ≈ 3.536 м/с  

Скорость на 30% меньше максимальной будет:  
v = v_max * (1 - 0.3)  
v ≈ 3.536 м/с * 0.7  
v ≈ 2.475 м/с  

Теперь используем закон сохранения механической энергии для нахождения смещения. Полная механическая энергия системы константна и равна:  
E = (1/2) * k * A^2  

Теперь найдем полную энергию E:  
E = (1/2) * 250 Н/м * (0.1 м)^2  
E = (1/2) * 250 * 0.01  
E = 1.25 Дж  

Энергия системы также может быть представлена как сумма потенциальной и кинетической энергии:  
E = (1/2) * k * x^2 + (1/2) * m * v^2  

Подставим известные значения в уравнение:  
1.25 = (1/2) * 250 * x^2 + (1/2) * 0.2 * (2.475)^2  

Упростим уравнение:  
1.25 = 125 * x^2 + 0.1 * 6.130625  
1.25 = 125 * x^2 + 0.6130625  

Теперь решим уравнение относительно x:  
1.25 - 0.6130625 = 125 * x^2  
0.6369375 = 125 * x^2  
x^2 = 0.6369375 / 125  
x^2 ≈ 0.005095  
x ≈ √0.005095  
x ≈ 0.0714 м ≈ 7.14 см  

Ответ:  
Смещение груза относительно положения равновесия составляет примерно 7.14 см.