Дано:
Масса пластины m1 = 0.1 г = 0.0001 кг.
Частота собственных колебаний ν = 1,000,000 Гц.
Изменение частоты |Δν| = 10 Гц.
Найти:
Массу образца m2.
Решение:
1. Период колебаний T для кварцевой пластины определяется как:
T = 1 / ν.
Для первоначальной массы пластины:
T1 = 1 / ν = 1 / 1,000,000 = 1 * 10^(-6) с.
2. Период колебаний также связан с массой m по формуле:
T = k * sqrt(m),
где k - коэффициент пропорциональности.
3. Теперь запишем период для новой массы, когда на пластину помещен образец:
T2 = k * sqrt(m1 + m2).
4. Изменение частоты связано с изменением периода:
ν1 = 1 / T1,
ν2 = 1 / T2.
5. Разница частот:
|Δν| = |ν2 - ν1| = |(1 / T2) - (1 / T1)|.
6. Подставим выражения для T1 и T2:
|Δν| = |(1 / (k * sqrt(m1 + m2))) - (1 / (k * sqrt(m1)))|.
7. Упростим уравнение:
|Δν| = (1 / k) * |(1 / sqrt(m1 + m2)) - (1 / sqrt(m1))|.
8. Переносим k в правую часть:
k = 1 / (|Δν| * |(1 / sqrt(m1 + m2)) - (1 / sqrt(m1))|).
9. Теперь выразим изменение частоты через массы:
Сначала обозначим:
f1 = 1 / sqrt(m1),
f2 = 1 / sqrt(m1 + m2).
И тогда:
|Δν| = |f2 - f1| = |(1 / sqrt(m1 + m2)) - (1 / sqrt(m1))|.
10. Подставляем известные значения:
10 = |(1 / sqrt(0.0001 + m2)) - (1 / sqrt(0.0001))|.
11. Решим это уравнение. Обозначим:
x = sqrt(0.0001 + m2),
y = sqrt(0.0001).
Тогда имеем:
10 = |(1/x) - (1/y)|.
12. Умножим обе стороны на xy:
10xy = |y - x|.
13. Подставим y:
10 * sqrt(0.0001) * x = |sqrt(0.0001) - x|.
14. Преобразуем уравнение:
10 * 0.01 * x = |0.01 - x|.
15. Решаем два случая:
Первый случай: 10 * 0.01 * x = 0.01 - x.
16. Переносим все члены в одну сторону:
10 * 0.01 * x + x - 0.01 = 0.
17. Объединяем:
(10 * 0.01 + 1)x = 0.01,
(0.1 + 1)x = 0.01,
1.1x = 0.01.
18. Выразим x:
x = 0.01 / 1.1 ≈ 0.00909.
19. Теперь найдем m2:
m1 + m2 = x²,
0.0001 + m2 = (0.00909)²,
m2 = (0.00909)² - 0.0001 ≈ 0.000082 - 0.0001.
20. Второй случай не дает положительного решения.
Ответ:
Масса образца приблизительно равна 0.000082 кг или 0.082 г.