Дано:
L = 10 м (длина троса)
v = 1 м/с (постоянная скорость движения стрелы крана)
Найти:
а) амплитуду колебаний груза относительно стрелы;
б) модуль максимальной скорости груза относительно земли;
в) через какое минимальное время после начала движения модуль скорости груза относительно земли станет равен нулю.
Решение:
а) Амплитуда колебаний груза относительно стрелы
При горизонтальном движении стрелы, груз будет колебаться, описывая окружность радиусом L. Амплитуда колебаний груза относительно стрелы будет равна длине троса.
x_max = L = 10 м.
б) Модуль максимальной скорости груза относительно земли
Максимальная скорость груза будет складываться из горизонтальной скорости крана и вертикальной скорости груза. Поскольку груз в начале находится в состоянии покоя, его вертикальная скорость в момент начала движения будет равна нулю.
v_max = v + 0 = 1 м/с.
Таким образом, максимальная скорость груза относительно земли будет равна 1 м/с.
в) Минимальное время, через которое модуль скорости груза относительно земли станет равен нулю
Груз будет колебаться вокруг точки подвеса и когда он достигнет максимального отклонения в одно направление, его скорость относительно земли станет равной нулю на мгновение. Это произойдет, когда груз поднимется на высоту, соответствующую длине троса.
Угловая скорость груза определится как:
ω = v / L = 1 / 10 = 0,1 рад/с.
Период T колебаний можно найти по формуле:
T = 2 * π / ω = 2 * π / 0,1 = 20π с ≈ 62,83 с.
Груз замедляется до нуля через четверть периода в одном направлении:
t_min = T / 4 = (20π) / 4 = 5π с ≈ 15,71 с.
Ответ:
а) Амплитуда колебаний груза относительно стрелы составляет 10 м.
б) Модуль максимальной скорости груза относительно земли равен 1 м/с.
в) Минимальное время, через которое модуль скорости груза относительно земли станет равен нулю, составляет примерно 15,71 с.