Дано:
A = 10 см = 0,1 м (амплитуда)
B = 2 рад/с (угловая частота)
m = 10 г = 0,01 кг (масса)
Найти:
Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии маятника от времени.
Решение:
1. Определим период колебаний T:
T = 2π / B = 2π / 2 = π с.
2. Кинетическая энергия (E_k) и потенциальная энергия (E_p) пружинного маятника определяются следующими формулами:
E_k(t) = (1/2) * m * (v(t))^2,
E_p(t) = (1/2) * k * (x(t))^2.
3. Скорость v(t) равна производной от x(t):
v(t) = dx/dt = A * B * cos(Bt).
4. Жесткость пружины k связана с угловой частотой и массой:
k = m * B^2.
Подставим значения:
k = 0,01 * 2^2 = 0,04 Н/м.
5. Теперь подставим выражения для E_k и E_p:
E_k(t) = (1/2) * m * (A * B * cos(Bt))^2,
E_p(t) = (1/2) * k * (A * sin(Bt))^2.
6. Подставим известные значения в эти формулы:
E_k(t) = (1/2) * 0,01 * (0,1 * 2 * cos(2t))^2,
E_p(t) = (1/2) * 0,04 * (0,1 * sin(2t))^2.
7. Упростим выражения:
E_k(t) = (1/2) * 0,01 * (0,2 * cos(2t))^2 = 0,0005 * cos^2(2t),
E_p(t) = (1/2) * 0,04 * (0,1 * sin(2t))^2 = 0,0002 * sin^2(2t).
8. Полная механическая энергия (E_total) сохраняется в процессе колебаний и равна:
E_total = E_k + E_p = E_k(t) + E_p(t).
9. Подставляем уравнения:
E_total = 0,0005 * cos^2(2t) + 0,0002 * sin^2(2t).
10. Так как полная энергия постоянна, можно найти её максимальное значение при A = 0,1 м и B = 2 рад/с:
E_total_max = E_k_max = E_p_max = E_k + E_p при A = 0,1 м и cos^2(2t) + sin^2(2t) = 1.
E_total_max = (1/2) * k * A^2 = (1/2) * 0,04 * (0,1)^2 = 0,0002 Дж.
Ответ:
Для построения графиков необходимо использовать полученные функции E_k(t) и E_p(t).
Кинетическая энергия будет варьироваться от 0 до 0,0005 Дж, а потенциальная энергия — от 0 до 0,0002 Дж. Полная энергия останется на уровне 0,0002 Дж. Графики будут периодическими с периодом T = π с.