дано:
высота столба H,
угловая высота Солнца над горизонтом ϕ,
абсолютный показатель преломления воды n.
найти:
длину тени от столба на горизонтальном дне L.
решение:
1. Рассмотрим ситуацию, когда солнечный свет падает на столб и преломляется в воде. Сначала найдем угол падения света α в воздухе.
Согласно закону Снеллиуса:
n1 * sin(α) = n2 * sin(β),
где n1 = 1 (воздух), n2 = n (вода), β — угол преломления в воде.
Так как угловая высота Солнца ϕ равна углу падения α, то:
sin(α) = sin(ϕ).
2. Найдем угол преломления β в воде:
sin(β) = (sin(α)) / n = (sin(ϕ)) / n.
3. Теперь можем найти длину тени L, которая образуется на дне водоема. В треугольнике, образованном столбом и его тенями, можно записать:
tan(β) = H / L.
Отсюда, выразим L:
L = H / tan(β).
4. Сначала нужно найти tan(β) через sin(β):
tan(β) = sin(β) / cos(β).
Используем тригонометрическую идентичность, чтобы узнать cos(β):
cos(β) = sqrt(1 - sin^2(β)) = sqrt(1 - (sin(ϕ)/n)^2).
5. Подставим значение sin(β):
tan(β) = (sin(ϕ)/n) / sqrt(1 - (sin(ϕ)/n)^2).
6. Теперь подставим это обратно в формулу для L:
L = H / ( (sin(ϕ)/n) / sqrt(1 - (sin(ϕ)/n)^2) ) = H * n / (sin(ϕ) * sqrt(1 - (sin(ϕ)/n)^2)).
ответ:
длина тени от столба на горизонтальном дне составляет L = H * n / (sin(ϕ) * sqrt(1 - (sin(ϕ)/n)^2)).