Дано:
- Радиус шара R = 40 мм = 0,04 м
- Минимальное расстояние, пройденное преломленным лучом внутри шара l = 60 мм = 0,06 м
Найти:
Абсолютный показатель преломления материала шара n.
Решение:
1. Поскольку луч проходит через центр шара и выходит обратно, можно воспользоваться геометрией треугольника, образованного радиусом шара и длиной пути внутри него. При этом максимальная длина пути внутри шара l связана с радиусом R и углом θ преломления.
2. Известно, что длина пути внутри шара l равна:
l = R * (θ + sin(θ)),
где θ - угол преломления.
3. По формуле для учета преломления в зависимости от угла и радиуса шара используем соотношение между l и R:
l = R * (π/2 + arcsin(a/R)),
где a - расстояние от нормали до точки падения луча на поверхность.
4. Мы знаем, что a не больше R, поэтому мы можем выразить n как:
n = l / (R * cos(θ)).
5. Используем приведенные значения.
Запишем уравнение, учитывая, что l = 60 мм и R = 40 мм:
n = l / (R * cos(θ)).
6. Подставляем известные значения:
n = 0,06 / (0,04 * cos(θ)).
7. Для минимального случая cos(θ) = (R/l). Учитываем это:
cos(θ) = 40/60 = 2/3.
8. Теперь подставим значение cos(θ) в уравнение для n:
n = 0,06 / (0,04 * (2/3)).
n = 0,06 / (0,04 * 0.6667) = 0,06 / 0,02667 ≈ 2,25.
Ответ:
Абсолютный показатель преломления материала шара n ≈ 2,25.