дано:
- период полураспада T1/2 = 22 мин = 22 * 60 с = 1320 с
- начальный объем калия V0 = 0,005 см^3 = 0,005 * 10^-6 м^3
- заряд электронов q = -9,03 Кл
найти:
время Δt, в течение которого происходил распад калия.
решение:
1. Сначала найдем массу калия, используя его объем и плотность. Плотность калия составляет примерно 0,89 г/см^3. Переведем плотность в кг/м^3:
0,89 г/см^3 = 890 кг/м^3.
Теперь можем найти массу:
m = V0 * ρ = (0,005 * 10^-6 м^3) * 890 кг/м^3 ≈ 4,45 * 10^-3 кг.
2. Найдем количество ядер калия N0. Масса одного ядра калия (44K) примерно 7.34 * 10^-26 кг. Тогда количество ядер можно рассчитать как:
N0 = m / m_ядра = (4,45 * 10^-3 кг) / (7.34 * 10^-26 кг) ≈ 6,06 * 10^22 ядер.
3. Теперь определим количество распадов, исходя из заряда испущенных электронов. Каждый β– распад приводит к испусканию одного электрона. Таким образом, количество распадов равно:
N_распады = |q| / e,
где e = 1,6 * 10^-19 Кл (заряд электрона). Подставляем значения:
N_распады = 9,03 Кл / 1,6 * 10^-19 Кл ≈ 5,64 * 10^19 распадов.
4. Определим количество оставшихся ядер после времени Δt по формуле:
N(t) = N0 * (1/2)^(Δt/T1/2),
где N(t) = N0 - N_распады. Таким образом, подставляя значения:
N0 - N_распады = N0 * (1/2)^(Δt/T1/2).
5. Перепишем уравнение:
N0 - 5,64 * 10^19 = N0 * (1/2)^(Δt/T1/2).
6. Выразим (1/2)^(Δt/T1/2):
(1/2)^(Δt/T1/2) = N0 - 5,64 * 10^19 / N0.
7. Упрощаем выражение:
(1/2)^(Δt/T1/2) = 1 - (5,64 * 10^19 / N0).
8. Подставим значение N0:
(1/2)^(Δt/T1/2) = 1 - (5,64 * 10^19 / 6,06 * 10^22) ≈ 1 - 0,0000933 ≈ 0,9999067.
9. Теперь используем логарифмическое уравнение для расчета времени:
Δt/T1/2 = log(1/0,9999067) / log(2).
Следовательно:
Δt = T1/2 * log(1/0,9999067) / log(2).
10. Логарифмы вычисляем:
log(1/0,9999067) ≈ 0,0000933 и log(2) ≈ 0,301.
Таким образом:
Δt ≈ 1320 * (0,0000933 / 0,301) ≈ 1320 * 0,0003096 ≈ 0,409 с.
ответ:
Распад калия происходил примерно 0,409 секунд.