Дано: равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, и биссектрису AD, проведённую из вершины A к основанию BC.
Найти: нужно доказать, что биссектрисa AD является медианой и высотой.
Решение:
1. В равнобедренном треугольнике ABC с AB = AC, проведём биссектрису AD, которая делит угол A на два равных угла: угол BAD = угол CAD.
2. Поскольку AD является биссектрисой, то по свойствам равнобедренного треугольника проведём перпендикуляр из точки A к основанию BC, обозначим точку пересечения как D.
3. Для доказательства того, что AD – медиана, нам нужно показать, что BD = DC (где D - середина отрезка BC).
4. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. В этих треугольниках:
- AB = AC (по условию),
- угол BAD = угол CAD (так как AD биссектрисa),
- AD общий для обоих треугольников.
5. По критерию равенства треугольников (сторона-угол-сторона) треугольники ABD и ACD равны.
6. Из равенства треугольников следует, что BD = DC, что доказывает, что AD является медианой.
7. Теперь докажем, что AD является высотой. Мы уже установили, что углы BAD и CAD равные. Следовательно, если провести перпендикуляр из точки A к линии BC, этот перпендикуляр будет совпадать с биссектрисой AD.
8. Таким образом, AD перпендикулярна BC.
Ответ: в равнобедренном треугольнике биссектрисa, проведённая к основанию, является его медианой и высотой.