Дано: равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, и высота AH, проведённая из вершины A к основанию BC.
Найти: нужно доказать, что высота AH является медианой и биссектрисой.
Решение:
1. В равнобедренном треугольнике ABC с AB = AC проведём высоту AH, которая перпендикулярна основанию BC и делит его на две части.
2. Обозначим точки пересечения H на стороне BC. Поскольку AH – высота, то угол AHB = 90 градусов и угол AHC = 90 градусов.
3. Чтобы доказать, что AH является медианой, необходимо показать, что BH = HC (где H - середина отрезка BC).
4. Рассмотрим треугольники ABH и ACH. В этих треугольниках:
- AB = AC (по условию),
- угол AHB = угол AHC = 90 градусов (поскольку AH перпендикулярна BC),
- AH общий для обоих треугольников.
5. По критерию равенства треугольников (сторона-угол-сторона) треугольники ABH и ACH равны.
6. Из равенства треугольников следует, что BH = HC, что доказывает, что AH является медианой.
7. Теперь докажем, что AH является биссектрисой. Мы уже установили, что углы AHB и AHC равны и по свойству равнобедренного треугольника, если углы при основании равны, то медиана будет также являться биссектрисой.
8. Следовательно, высота AH делит угол A на два равных угла, что подтверждает, что она также является биссектрисой.
Ответ: в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является его медианой и биссектрисой.