Дано:
Выпуклый пятиугольник.
Найти:
Доказать, что в выпуклом пятиугольнике всегда найдутся два соседних угла, сумма которых больше 180°.
Решение:
1. Для начала вычислим сумму внутренних углов выпуклого пятиугольника.
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с n сторонами дается формулой:
Сумма внутренних углов = (n - 2) * 180°
Для пятиугольника (n = 5):
Сумма внутренних углов = (5 - 2) * 180° = 3 * 180° = 540°
2. Пусть углы пятиугольника обозначены как α1, α2, α3, α4, α5. Таким образом, выполняется следующее уравнение:
α1 + α2 + α3 + α4 + α5 = 540°
3. Мы хотим доказать, что всегда найдутся два соседних угла, сумма которых больше 180°. Рассмотрим возможные суммы для каждой пары соседних углов:
(α1 + α2), (α2 + α3), (α3 + α4), (α4 + α5), (α5 + α1).
4. Поскольку пятиугольник выпуклый, каждый внутренний угол меньше 180°. Это означает, что ни один из углов не может быть больше или равен 180°.
5. Допустим, что ни одна из пар соседних углов не превышает 180°. Тогда:
α1 + α2 < 180°
α2 + α3 < 180°
α3 + α4 < 180°
α4 + α5 < 180°
α5 + α1 < 180°
6. Если сложить все пять неравенств, то получим:
(α1 + α2) + (α2 + α3) + (α3 + α4) + (α4 + α5) + (α5 + α1) < 5 * 180°
Упрощаем:
2 * (α1 + α2 + α3 + α4 + α5) < 900°
Так как сумма всех углов равна 540°, получаем:
2 * 540° < 900°
1080° < 900°
7. Мы получили противоречие, что означает, что наше предположение неверно.
Следовательно, всегда найдутся два соседних угла, сумма которых больше 180°.
Ответ:
В выпуклом пятиугольнике обязательно найдутся два соседних угла, сумма которых больше 180°.