Дано: правильный треугольник ABC.
Найти: показать, что середины сторон треугольника ABC являются вершинами другого правильного треугольника.
Решение:
1. Определим координаты средин.
Пусть треугольник ABC имеет стороны длиной a. Обозначим середины сторон следующим образом:
- M — середина стороны AB,
- N — середина стороны BC,
- P — середина стороны CA.
2. Вычислим длины сторон нового треугольника.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
- Отрезок MN соединяет середины сторон AB и BC, и, следовательно, MN параллелен AC и MN = 1/2 * AC = 1/2 * a.
- Аналогично, отрезок NP соединяет середины сторон BC и CA и параллелен AB, и NP = 1/2 * AB = 1/2 * a.
- Отрезок PM соединяет середины сторон CA и AB и параллелен BC, и PM = 1/2 * BC = 1/2 * a.
Таким образом, все три стороны треугольника MNP равны 1/2 * a, что подтверждает, что треугольник MNP равносторонний.
3. Проверим углы нового треугольника.
Треугольник MNP является треугольником, у которого каждая сторона параллельна одной из сторон исходного треугольника ABC. Поскольку треугольник ABC является правильным треугольником, все его углы равны 60 градусов. Треугольник MNP, будучи подобным треугольнику ABC, также имеет углы по 60 градусов.
Ответ: середины сторон правильного треугольника образуют вершины другого правильного треугольника.